Классификация погрешностей:
Погрешность (неопределённость) - отклонение результата измерения Ах от истинного значения А. В международной практике рекомендовано применение термина неопределённость, в отечественной нормативной документации и учебной литературе преобладает использование термина погрешность.
D = Ax - A - формула погрешности, где:
A - истинное значение - значение, которое бы идеальным образом отражало в качественном и количественном отношениях измеряемую величину;
Ax – результат измерения. Так как истинное значение величина идеальная и, следовательно, неизвестная, то на практике вместо нее применяют действительное значение A₀:
D = Ax - A₀
A₀ - действительное значение, найденное экспериментальным путем и настолько приближающееся к истинному, что для данной цели может быть использовано вместо него.
Классификация погрешностей.

по характеру проявления:

1. систематические – составляющие погрешности, остающиеся постоянными или закономерно изменяющимися при повторном измерении одного и того же значения;
2. случайные – составляющие погрешности, изменяющиеся случайным образом при повторном измерении одного и того же значения;
3. грубые – составляющие погрешности, существенно превышающие ожидаемые, при данных условия измерения;

по источнику возникновения:

1. методические – составляющие погрешности, вызванные несоответствием теоретической модели эксперимента реальному состоянию;
2. инструментальная – погрешность применяемых средств измерения;
3. субъективная – погрешность, вносимая субъектом, проводящим эксперимент;

по условиям применения:

1. основная – погрешность средства измерения, применяемые в нормальных условиях;
2. дополнительная – погрешность, вызванная отклонением условий измерения от нормальных;

по характеру поведения измеряемой величины в процессе измерения:

1. статическая – погрешность средства измерения при измерении неизменной в процессе измерения величины D _стат;
2. в динамическом режиме D _{динам.реж.} – погрешность средства измерения при измерении меняющейся во времени в процессе измерения величины;
3. динамическая D _динам. = D _{динам.реж.} + D _стат.

по закономерности зависимости от размера измеряемой величины:

5.1 аддитивные

5.2 мультипликативные

А_п – показания приборов;
А_к – конечное значение диапазона измерения.

по способу выражения:

1. абсолютная D = А_х – А₀ [ед. измерения]
2. относительная
3. приведенная

А_н – нормирующее значение (может быть равным конечному значению шкалы, либо – ее геометрической длине либо – диапазону измерения, либо – произвольным).
Относительную погрешность часто выражают в %. Для этого нужно на 100

Точность измерений.

Оценка инструментальной погрешности измерений

Инструментальную погрешность нормируют путем указания пределов допускаемой погрешности, которые указываются в метрологических характеристиках средства измерения.
D _пред. – наибольшая по модулю погрешность средства измерения, при которой оно еще может быть допущено к применению. Фактически, это граница погрешности, за которую она не должна выходить. Таким образом, это позволяет определить границы, в которых находится истинное значение измеряемой величины A:

Пределы допускаемых погрешностей средств измерений могут быть указаны в метрологических характеристиках в разной форме:

1. в форме абсолютной погрешности: класс точности обозначается M, N, O, R… или I, II, III…


1. D _пред. = a;


2. D _пред. = (a + вА_к);


3. D _пред. = j (А_к),

где (а) и (в) константы, указываемые в метрологических характеристиках,

j (А_к) - может быть задана формулой, отличной от формулы указанной в пункте 1.2, графиком или таблицей;

2. в форме относительной погрешности:

2.1 класс точности обозначен © , где с число из ряда: (1; 1,5; 2; 2,5; 4; 5; 5) × 10ⁿ , где n = 1, 0, -1, -2...


2.2 класс точности обозначен c / d – c и d числа из ряда, указанного в пункте 2.1;


где А_к – наибольший по модулю из диапазонов измерения;
А_n – показания прибора

2.3 если класс точности обозначен, как в пункте 1, то d _пред задается либо формулой, отличной от формулы указанной в пункте 2.2, либо графиком, либо таблицей;

3. в форме приведенной погрешности:

если класс точности обозначен, - число из ряда, указанного в пункте 1, то


где: А_н – нормирующее значение, которое может быть равно:
а) А_н = A_к, если нулевая отметка находится на краю шкалы;
б) А_н = |A_k1| + |A_k2|, если нулевая отметка находится внутри рабочей части шкалы;
в) А_н = |A_k1| - |A_k2|, если нулевая отметка находится вне пределов шкалы (приборы с условным нулем), где A_к, A_k1 и A_k2 – конечные значения шкалы прибора. При измерении нужно стремится, чтобы показание прибора было как можно ближе к нормирующему значению. Вышеуказанные обозначения применяют для приборов с равномерной шкалой.

3.1 Для приборов с существенно неравномерной шкалой:
Обозначение:


где А_н – нормирующее значение, равное геометрической длине всей шкалы приборов;
S – чувствительность приборов в точке отсчета показания;
Dl - размеры одного деления;
С – цена деления.

Случайная составляющая погрешности измерения (СлСПИ) и ее оценка.

Случайные погрешности исследуют и оценивают с помощью теории вероятности.
СлСПИ – погрешность изменяющаяся случайным образом, которая меняется при повторных измерениях случайным образом.
a₁, a₂, a₃ … a_i … a_n – ряд наблюдений,
n – число наблюдений,
a_i – результат наблюдения (РН),

Случайная погрешность результата наблюдений: D _i = a_i - A


где m_j – количество наблюдений, погрешность которых попала в j-ый интервал,
n - частота появления события.
Гистограмма - зависимость частоты появления события от размера события. При предельном переходе гистограмма превращается в дифференциальный закон распределения плотности вероятности (правый график)


Чаще других встречается нормальный закон распределения случайных погешностей:

где s - среднеквадратическое отклонение (СКО).
Нормальный закон распределения характеризуется двумя параметрами:
математическое ожидание M и среднеквадратическое отклонение s.
Введем новую переменную:

которая представляет собой нормированную случайную погрешность. Пусть e граница доверительного интервала случайной составляющей погрешности, тогда – нормированный доверительный интервал этой погрешности. После замены переменных получим следующее выражение

которое называют интегралом вероятности. Значение вероятности F (k) приведены в учебниках и математических справочниках

  Алгоритм обработки РН при оценке СлСПИ.

1. Исключить известные СиСПИ;
2. Найти среднее значение (оценку математического ожидания) – результат измерения (РИ)

При n -> ¥ сумма случайных погрешностей стремится к нулю, поэтому - оценка результата измерения.

3. Вычислить оценку СКО РН:
   а)
   б) , если не равно 0, то нужно проверить верность выполнения п. 2;
   
   в) - оценка среднеквадратичного отклонения;
   

Распределение Стьюдента:

Нормальный закон пригоден для большого числа наблюдений, а как быть, когда число наблюдений мало? Прибегают к распределению Стьюдента :

где Г – гамма-функция,
n – число наблюдений,
t – нормированная случайная погрешность среднего значения:

A – истинное значение,
- оценка среднеквадратичного отклонения РИ.

Из графиков распределения Стьюдента видно, что при n® ¥ оно совпадает с нормальным.

4. Вычислить оценку СКО РИ:

Формула показывает, что с увеличением количества опытов погрешность РИ падает, и при n® ¥ , случайная погрешность РИ стремиться к 0, а сам РИ, следовательно, к истинному значению, т.е.

5. Проверка гипотезы о принадлежности к нормальному распределению;
а) n < 15 – невозможно определить;
б) 15 ³ n ³ 50 – определение по составному критерию ГОСТ 8.207-76;
в) n > 50 – определение по ГОСТ 11.06-74;

6. Выявление грубых погрешностей осуществляют в соответствии с ГОСТ 11.002-73, если есть анормальный результат наблюдения – его нужно исключить из ряда наблюдений и повторить вычисления с п. 2.;

7. Определить интервальные оценки СлСПИ:

а) задан доверительный интервал СлСПИ, Е – граница доверительного интервала. Вычисляют коэффициент Стьюдента ta

значения P определяется по таблице распределения Стьюдента,
б) задана доверительная вероятность – P. С помощью таблицы распределения Стьюдента по известным P и n находят ta , а затем
доверительный интервал СлСПРИ;

8. Оформить результат измерения в соответствии с МИ 1317-86.

Систематическая составляющая погрешности измерения (СиСПИ) и ее оценка.

Классификация СиСПИ:
а) постоянная;
б) переменная.

Переменные:

1. прогрессивные (подчиняются закону арифметической прогрессии);


2. периодические (изменяются по периодическому закону);


3. по сложному закону;

Принципы исключения СиСПИ:

1. профилактические;


2. в процессе измерений (путем увеличения опытов);


3. в процессе обработки результата наблюдения;


4. внесение известных поправок;


5. оценка границ не исключенных СиСПИ.

Оценка границ СиСПИ Q осуществляется по ГОСТ 8.207-76:

1. m > 3 (m – количество источников СиСПИ)

где Q _i - граница i-ой систематической погрешности,
k – коэффициент, определяемый заданной вероятностью P

P	0.9	0.95	0.98	0.99
kp	0.95	1.1	1.3	1.4

2. m £ 3 Е

Если закон равномерный:

1.

2. в противном случае .

Из двух результатов берут меньший.

3. Если закон нормальный, то при любом m

все Q _i должны быть найдены с одинаковой вероятностью при Р=0.95 можно пользоваться любой из формул 1-3

Опроеделение доверительных границ погрешности результата измерений ( ДГПРИ )

Определим ДГПРИ, если известно: Q , , P, E.
Необходимо найти: D - ДГ суммы НРИ.
- если D = E;

- если D = Q ;

- в остальных случаях D = k(E + Q ), где k – безразмерный коэффициент.
Границы Е и О должны быть определены с одинаковой вероятностью.

	0.75	1	2	3	4	5	6	7	8
k(P = 0.95)	0.77	0.74	0.71	0.73	0.76	0.78	0.79	0.8	0.81
k(P = 0.99)	0.85	0.82	0.8	0.81	0.82	0.83	0.83	0.84	0.85

Оценка погрешности косвенных измерений (РД50-555-85)

Пусть существует A = f(a₁, a₂ … a_m), где:

А – величина подвергаемая косвенному измерению,
a₁, a₂ … a_m – измеренные величины (прямые измерения).

1. Исключим СиСПИ из результатов прямых измерений;


2. Найдем

где - результат I-го измерения,
- оценка СКО случайной составляющей, Q _I – границы неисключенной систематической составляющей;

3. Проверить степень корреляции аргумента.

Дальнейшая обработка справедлива только для слабо коррелированных величин.

4. - оценка результата косвенного измерения;


5. Вычислить оценку СКО случайной составляющей погрешности результата косвенного измерения

а)
б) если нелинейная зависимость, то , (2);
в) если R ³ 0.8 × , то нужно ввести поправку: ;

6. Вычислить границу неисключенной СиСПРИ

а) если m > 3 и закон распределения равномерный
, (1);
б) если m £ 3, то рассчитывают по формуле (1) и по формуле , (2)
из двух значений (1) и (2) выбирают меньшее.
Если закон распределения СиСПИ нормальный, то при любом m:





Все Q _i должны быть определены с одинаковой вероятностью. При P = 0.95, расчет можно вести по любой формуле из (1-3).

Если известны границы суммарной погрешности результатов прямых измерений D _предi, и закон распределения, то для оценки нужно использовать формулу (3), где вместо Q _i ставится D _предi. ДГ суммы погрешностей РИ – см. выше.

Формы представления результатов эксперимента:

1. Результат эксперимента должен быть представлен с указанием единиц измерения;
2. Обязательно должны быть указаны характеристики погрешностей измерения:
1. указываются границы суммарной погрешности и доверительная вероятность, с которой погрешность находится в этих границах;
2. отдельно указываются характеристики случайной и систематической составляющих погрешности. Причем могут быть указаны либо границы погрешности с указанием вероятности, либо статистические параметры распределения, т.е. оценка СКО и закон распределения (если есть возможность).

3. Погрешность измерения должна выражаться не более чем двумя значащими цифрами. Можно указать одну значащую цифру, ели погрешность округления не превышает 5 % (погрешность округляют в большую сторону). Если погрешность округления в большую сторону превышает 5%, то можно округлять в меньшую сторону до двух значащих цифр.

4. Критерий округления результата измерения:
последний разряд результата должен быть таким же, как у округленного значения абсолютной погрешности.

5. Результат измерения должен включать в себя условия проведения измерения (температура, давление, влажность, число наблюдений, частота, на которой проведены измерения, и т. п.).