26.3. ОТРАЖЕНИЕ И ПРЕЛОМЛЕНИЕ ВОЛН НА КОНЦЕ ЛИНИИ

26.3. ОТРАЖЕНИЕ И ПРЕЛОМЛЕНИЕ ВОЛН НА КОНЦЕ ЛИНИИ

Полученные выше выражения для напряжения и тока в виде суммы прямой и обратной волн записаны в предположении, что прямая и обратная волны заданы одновременно в одной и той же точке линии (при t = 0 и x = 0). Однако обычно эти волны возникают в различных точках линии и в разные моменты времени. Так, общая картина переходного процесса в цепи, в которой сопротивление нагрузки R питается от источника ЭДС с напряжением U₀ через линию (рис. 26.2), состоит в следующем.

Рис. 26.2

При замыкании ключа в начале линии при t = 0 возникает прямая волна с u_j = U₀ и i_j = u_j/Z, которая со скоростью v начинает распространяться к нагрузке. В начале процесса при 0 < t < l/v существует только прямая волна. При t₁ = l/v, когда она достигает конца линии, возникнет обратная волна u_y, i_y = – u_y/Z, которая начнет распространяться от нагрузки к генератору. При l/v < t < 2l/v в линии существуют прямая и обратная волны, и напряжения и токи в отдельных точках линии определяются их суммированием. Новое отражение произойдет при t = t₂ = 2l/v, когда обратная волна дойдет до входных зажимов линии. При отсутствии потерь в линии и ее конечных элементах этот процесс имеет незатухающий характер и продолжается бесконечно долго. В реальных условиях волны, возникающие при многократных отражениях, затухают из-за потерь, и устанавливается стационарный режим.

Учет волн, возникающих в ходе многократных отражений, представляет сложную задачу и может оказаться более трудоемким, чем решение операторным методом (см. п. 26.1). Однако на практике обычно наибольший интерес представляет рассмотрение именно первого отражения, в результате которого напряжения и токи могут достигнуть максимальных значений.

Установим связь между характеристиками падающей и отраженной волн при включении на конце линии резистора с сопротивлением R (см. рис. 26.2). Напряжение u на резисторе и его ток i складываются из падающей и отраженной волн: u = u_j + u_y; i = i_j + i_y. Входящие сюда величины связаны соотношениями: u = Ri; u_j = i_jZ; u_y = – i_yZ, поэтому связь между напряжениями падающей и отраженной волн можно записать в виде u = u_j + u_y = R(u_j/Z – u_y /Z). Отсюда находим u_y(1 + R/Z) = u_j(R/Z – 1) или

Величина q_u = (R – Z)/(R + Z) — коэффициент отражения по напряжению — определяет соотношение между напряжениями падающей и отраженной волн. При изменении нагрузки линии в пределах 0 < R < ¥ значение коэффициента q_u изменяется в пределах от – 1 до 1 — по модулю отраженная волна не может превысить падающую. Эти предельные значения достигаются для короткозамкнутой и разомкнутой на конце линии соответственно. При согласованной нагрузке (R = Z) q_u = 0, и отраженная волна вообще не возникает. В этом случае рассмотренный выше переходный процесс в схеме (рис. 26.2) заканчивается в момент времени t = t₁ = l/v с приходом прямой волны к нагрузке. Таким образом, в отличие от цепей с сосредоточенными параметрами, переходные процессы в цепях с распределенными параметрами могут быть ограниченными во времени.

Используя связь между токами и напряжениями отдельных волн, можно аналогично ввести коэффициент отражения по току

Примеры расчета отраженных волн напряжения и тока от резистивной нагрузки рассмотрены в Задачах 24.1 и 24.2.

Для определения результирующих напряжения и тока на нагрузке u и i, возникающих после однократного отражения, по заданному напряжению падающей волны u_j воспользуемся записанными выше связями u, u_j и u_y, исключая из них характеристики отраженной волны:

Отсюда следует, что результирующие величины на нагрузке u и i можно определить с помощью эквивалентной схемы (рис. 26.3), содержащей последовательное соединение активного сопротивления, равного волновому сопротивлению линии Z, и сопротивления нагрузки, включаемой под удвоенное напряжение падающей волны (правило эквивалентной волны).

Рис. 26.3

Из полученных связей следует, что в результате однократного отражения суммарное напряжение u может не более чем удвоиться по сравнению с u_j. Легко установить, что то же справедливо и в отношении результирующего тока: при однократном отражении i £ 2i_j.

Подобные соотношения между характеристиками падающей, отраженной волны и результирующими токами и напряжениями на конце линии справедливы и при нагрузке более сложного вида. При этом в качестве R в формулах для коэффициентов отражения q_u и q_i и в схеме на рис. 26.3 для расчета результирующих величин фигурирует входное сопротивление нагрузочного двухполюсника R = R_вх.

При расчете отражений в схеме сопряжения одной линии с волновым сопротивлением Z₁ с другой, имеющей волновое сопротивление Z₂, с включенным в месте их стыка Г-образным четырехполюсником (рис. 26.4, а) для определения параметров отраженной волны в качестве сопротивления нагрузки следует использовать величину R_вх = R₁ + R₂/(R₂ + Z₂), в котором влияние второй линии учитывается активным сопротивлением, равным ее волновому сопротивлению Z₂.

Рис. 26.4

Для определения результирующих величин на выходе линии 1 используем эквивалентную схему (рис. 26.4, б). Эта же схема дает возможность определить характеристики преломленной волны u_j2 и i_j2, распространяющейся во второй линии.

Схема, изображенная на рис. 26.4, а, позволяет обеспечить отсутствие отраженной волны в месте стыка двух линий с отличающимися волновыми сопротивлениями (Z₁ № Z₂). Так, при Z₂ < Z₁ можно принять R₂ = ¥, и условие q_u = 0 выполняется при R₁ + Z₂ = Z₁, т. е. R₁= Z₁– Z₂. Если, наоборот, Z₂ > Z₁, то для согласования линии на выходе используем сопротивление R₂при R₁= 0. В этом случае из условия q_u = 0 имеем R₂Z₂/(R₂+ Z₂) = Z₁, откуда найдем значение R₂= Z₁Z₂/(Z₂– Z₁), обеспечивающее согласование.

Все приведенные выше соотношения можно использовать и для расчета отражения и преломления волн от нагрузки линии или четырехполюсника на стыке линий, включающих емкости и индуктивности. При нулевых начальных условиях соотношения для коэффициентов отражения сохраняют свою форму для операторных изображений напряжения и тока:

где Z_н(s) – входное операторное сопротивление оконечного сопротивления линии. Входящие в состав нагрузки первой линии другие линии учитываются в Z_н(s) активными сопротивлениями, равными их волновым сопротивлениям, подобно тому, как на рис. 26.4. Для определения отраженных волн при сложной форме падающей волны по заданному закону u_j(t) находим его операторное изображение U_j(s). Переход от изображения U_y(s) = U_j(s)q_u(s) к оригиналу u_y(t) осуществляется с помощью теоремы разложения.

При использовании эквивалентной схемы (см. рис. 26.3) результирующие выражения тока и напряжения определяют по их операторным изображениям:

Для анализа эквивалентной схемы можно использовать и любые другие методы анализа переходных процессов (например, интегрирование уравнений состояния).

Рассмотрим в качестве примера процесс отражения волны от конца линии, замкнутой на параллельное соединение резистора R_н и емкости C. Операторное сопротивление нагрузки линии равно , а операторный коэффициент отражения по напряжению

В частном случае при нагрузке на чистую емкость (рис. 26.5, а), в последнем выражении следует принять R_н = ¥ и коэффициент отражения по напряжению равен q_u = (1 – sZC)/(1 + sZC). При постоянной во времени падающей волне u_j = U₀ имеем U_j(s) = U₀/s; U_j(s) = U₀(1 – st)/[s(1 + st)], где t = ZC. Применяя теорему разложения, найдем u_y(t) = U₀(1 – 2e^-t/t).

Рис. 26.5

Полученное выражение относится к оконечной точке линии. Отсчет времени в нем ведется от момента t = 0, к которому падающая волна достигает конечных зажимов линии 11'. Для нахождения выражения u_y(x', t), определяющего отраженную волну в произвольной точке, находящейся на расстоянии x' от конца линии, в последнем выражении следует заменить аргумент t на t – x'/v, что учитывает запаздывание изменений напряжения на время пробега волны x'/v до данной точки линии. Для линии с потерями следует также учесть затухание волны, выражаемое экспоненциальным множителем e^–ax'. В результате получим

На рис. 26.5, в и г приведены графики распределения результирующих напряжения и тока, учитывающие прямую и отраженную волны в линии без потерь, замкнутой на емкость. В начальный момент напряжение на конце линии спадает до нуля, а ток достигает удвоенного значения 2i_j — отраженные волны имеют такой же характер, как при короткозамкнутой линии. По мере зарядки конденсатора напряжение на нем увеличивается и в пределе t ® ¥ достигает удвоенного значения 2u_j, ток в конце линии уменьшается до нуля. В этом предельном режиме заряженный конденсатор ведет себя как разрыв в конце линии, и отраженные волны такие же, как и в случае линии, разомкнутой на конце.

Эквивалентная схема для расчета результирующих величин u и i в конце линии приведена на рис.26.5, б. Ее элементарный вид позволяет записать непосредственно: u = 2u_j(1 – e^–^t/^t), где u_j = U₀, t = ZC, i = C du_C/dt = 2u_je^–^t/^t/Z. Нетрудно убедиться, что эти выражения соответствуют результатам, полученным ранее при суммировании найденных ранее выражений для падающей и отраженной волн: u = u_j + u_y; i = i_j + i_y.

Пример расчета отражения волны от конца линии детально рассмотрен в Задаче 23.3.

Дальше
Обратно к плану лекции kYіgС¦U3еУџ_ †];—n]»wс&хъPоЖ±dу<paїNЫ6lqcЗЏ!лн 11Зї‹#gЦј™sОЛpцн<љtiУ†+ЗиіЖП OЗ–=ыф^‡ўiзЦЅ›7НФ©ПшvoгЗ‘ЧЖќњysзЙ_іnЌ‘шфзЧ±gє\{wпЯЏUјъгЫХВБ§Wї~"zцпбЗOлћ:YуЦе{'яНвщ