Процесс описывается уравнениями, составленными для обоих контуров относительно первичного и вторичного токов i₁ и i₂:

или

Для приведения системы к нормальной форме разрешим ее относительно производных обоих токов:

(17.2)

Для неидеального трансформатора — при L₁L₂ > М² (коэффициент связи  ) — из полученных уравнений состояния определим далее параметры общих решений обоих уравнений:

При действии на входе цепи постоянного источника u₀ = U₀ = соnst имеем в установившемся режиме: i₁’= U₀ /R₁; i₂’ = 0.

Корни l_1,2 определим из характеристического уравнения, которое после раскрытия характеристического определителя приводится к виду

или

где a₁ = R₁/L₁, a₂ = R₂/L₂.

Имеем

откуда следует, что оба корня вещественны, и при любых соотношениях параметров один из корней меньше –a₁ и –a₂, а второй — больше этих значений: l₂ < –a₁ < –a₂ < l₁. Для определения постоянных интегрирования используем начальные условия i₁(0) = 0; i₂(0) = 0, которые позволяют найти начальные значения производных из нормальной системы уравнений при t = 0:

Используя начальные условия для тока i₁, получаем систему:

откуда находим постоянные интегрирования, которые с использованием связей между корнями характеристического уравнения приведем к виду:

Аналогично определяем и константы A₃ и A₄, входящие в решение для вторичного тока:

Здесь из первого уравнения следует, что A₄ = – A₃, из второго уравнения найдем A₃ = – A₄ = U₀M/((l₂ – l₁)(L₁L₂ – M²)).

Таким образом, окончательное решение для токов в контурах имеет вид:

Характер изменения обоих токов при включении трансформатора изображен на рис. 17.4.

Рис. 17.4

Зависимость первичного тока i₁(t) монотонная. При сильной связи контуров (k » 1) начальная часть переходного процесса характеризуется быстрым увеличением тока i₁, а затем скорость его нарастания замедляется. Вторичный ток имеет форму апериодического импульса. Представляет интерес оценка влияния вторичного тока на процесс в первичном контуре. Для сравнения на рис. 17.4 изображена также кривая i₁(t) при разомкнутой вторичной обмотке (при R₂ = ∞), когда для тока имеем выражение , определяющее переходный процесс в последовательной RL-цепи (см. п. 15.3). Из рисунка видно, что при нагрузке на R₂ начальная часть кривой i₁(t) характеризуется более быстрым ростом, чем при R₂ = ∞, а в последующем рост первичного тока замедляется по сравнению с током i₁ при разомкнутой вторичной обмотке. Нетрудно заметить, что интеграл от свободного тока , взятый за все время переходного процесса при конечном значении R₂ и R₂ = ∞ одинаков и вообще не зависит от характера нагрузки трансформатора. Действительно, из первого уравнения исходной системы имеем для свободного тока i₁” = – [L₁(di₁”/dt) + M(di₂”/dt)]/R₁. Поэтому рассматриваемый интеграл равен

поскольку начальные значения свободных токов i₁”(0) = U₀/R₁, i₂”(0) = 0, а в установившемся режиме при t = ∞ оба свободных тока равны нулю. В связи с этим изображенные на рис. 17.4 кривые первичного тока пересекаются — вначале размагничивающее действие вторичного тока способствует ускоренному нарастанию первичного тока, а в последующем его влияние имеет противоположный характер.

Проанализируем также частный случай рассматриваемой задачи при идеальной связи контуров — при k = 1 или . В этом случае в полученных выше уравнениях состояния в нормальной форме (17.2) члены с производными имеют теперь нулевые сомножители: L₁L₂ – М² = 0, и эти уравнения приводят к алгебраической связи между обоими токами. С учетом соотношения между индуктивностями любое из рассматриваемых уравнений позволяет получить

Это означает, что в данном случае оба тока не играют роль переменных состояния, так как переменные состояния должны быть линейно независимыми. Полученная алгебраическая связь позволяет исключить ток из исходной системы, в результате чего ее первое уравнение приводится к виду

Таким образом, для тока i₁ имеем уравнение первого порядка. Поскольку единственный корень характеристического уравнения теперь равен то общее решение полученного дифференциального уравнения имеет вид

Очевидно, что начальные условия для определения постоянной А не сохраняются равными i₁(0) = 0; i₂(0) = 0, так как это противоречит полученной связи между обоими токами. Понятно, что к обоим токам обмоток трансформатора с идеальной связью закон коммутации неприменим, так как он получен из условия непрерывности энергии магнитного поля катушки, а в трансформаторе обе обмотки имеют общее магнитное поле, и условие непрерывности должно относиться к суммарной энергии, которая определяется выражением Для трансформатора с идеальной связью это выражение можно привести к виду , откуда вытекает, что из условия непрерывности энергии магнитного поля в момент коммутации W_м(–0) = W_м (+0) теперь вовсе не следует условие непрерывности токов, а лишь связь между токами

или

Использование этого условия, заменяющего закон коммутации, вместе с алгебраическим соотношением, связывающим токи обмоток, полученным ранее, позволяет найти начальные значения обоих токов:

Теперь нетрудно определить выражения для токов переходного процесса, используя начальное условие и общее решение при t = 0:

Из условия, связывающего токи, получим

Таким образом, при идеальной связи контуров (k = 1) быстрая начальная часть переходного процесса сокращается до нуля — при t = 0 токи скачком принимают указанные начальные значения, а затем изменяются по экспоненциальному закону, приближаясь к установившимся значениям.

Отметим еще раз, что токи идеализированных контуров не могут выступать в качестве переменных состояния: они не являются независимыми и в момент коммутации могут изменяться скачком. Условие непрерывности при t = 0 сохраняется для потокосцеплений обмоток. Действительно, поскольку а

то видно, что для этих величин непрерывность при t = 0 имеет место. Сами потокосцепления при идеальной связи пропорциональны друг другу: Поэтому в качестве переменных состояния при расчете переходных процессов контуров с k = 1 удобнее использовать потокосцепление одной из обмоток, а не их токи.

Исходную систему уравнений можно при этом переписать. в виде:

Вместе с уравнением они образуют систему уравнений относительно Ψ₁, i₁ и i₂, при интегрировании которой не возникает затруднений.

Потокосцепления обоих контуров Ψ₁ и Ψ₂ можно использовать в качестве переменных состояния для расчета переходных процессов и в общем случае — для контуров с k < 1, когда оба потокосцепления не зависят друг от друга.